# 小波

[原文](https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818)

傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换

## 一、**傅里叶变换**

傅里叶变换的**不足**

对**非平稳**过程，傅里叶变换有局限性

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nC-NDaPDO8ldCg%2Fimport.png?generation=1586530894854329\&alt=media)做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。

一切没有问题。但是，如果是**频率随着时间变化的非平稳信号**呢？

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nE0ffacGNrq_bD%2Fimport1.png?generation=1586530897120968\&alt=media)如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。**尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。**可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取**一段信号总体上包含哪些频率的成分**，但是**对各成分出现的时刻并无所知**。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

理解什么是非平稳信号了么。。不是平均分布的，有先后的

## 二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）

一个简单可行的方法就是——**加窗**。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。这就是短时傅里叶变换。

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nGcidVJofrkbf5%2Fimport3.png?generation=1586530895628422\&alt=media)图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以只用看一排就行了。

使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？窗太宽太窄都有问题：![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nIhtHD5rzE2pjN%2Fimport4.png?generation=1586530893744529\&alt=media)所以**窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低**，**宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高**。对于时变的非稳态信号，

**高频适合小窗口，低频适合大窗口**。然而**STFT的窗口是固定的**，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

## **三、小波变换**

那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。但事实上小波并不是这么做的。至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。\
于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。**STFT是给信号加窗，分段做FFT**；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将**无限长的三角函数基**换成了**有限长的会衰减的小波基**。这样不仅能够**获取频率**，还可以**定位到时间**了\~

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nKebssHssdTjRP%2Fimport5.png?generation=1586530903971541\&alt=media)

这个基函数会**伸缩**、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种**重合**关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

仔细体会可以发现，**这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。**

**注意：先伸缩，然后计算相关性，跟窗口无关**

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nM3PXbguVrRqrj%2Fimport7.png?generation=1586530898830788\&alt=media)

这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。

小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nO95xqDxDz4126%2Fimport8.png?generation=1586530897966169\&alt=media)

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。

**尺度**a控制小波函数的**伸缩,平移量**τ控制小波函数的**平移**。**尺度**就对应于**频率(**反比),**平移量**τ就对应于**时间**。

![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nQQJPYgbVFEoZ3%2F9import.png?generation=1586530893773633\&alt=media)

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在**时域上存在的具体位置**。 而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

### 小波的优势

### ![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nSakLdkJEzuGXH%2F10import.png?generation=1586530895284066\&alt=media)

### ![](https://1237447543-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M4ZaszQkuLof2XL0b_v%2F-M4Zav0QOp8dmT2IkJTc%2F-M4Zb0nU3M0L6gCp26ZE%2F12import.png?generation=1586530892044229\&alt=media)

**什么是正交化？为什么说小波能实现正交化是优势?**

简单说，如果采用正交基，**变换域系数会没有冗余信息**，变换前后的信号能量相等，等于是用最少的数据表达最大的信息量，利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。比如典型的正交基：二维笛卡尔坐标系的（1,0）、（0,1），用它们表达一个信号显然非常高效，计算简单。而如果用三个互成**120°**的向量表达，则会有信息冗余，有重复表达。但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强，有时候反而希望能有一些冗余信息，更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。


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